Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол BMC равен 140°.

Question

Вопрос:

Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол BMC равен 140°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Давай разберем задачу №7: В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) высоты $CE$ (к $AB$) и $BF$ (к $AC$) пересекаются в точке $M$. Рассмотрим четырехугольник $AFME$, где $F$ на $AC$, а $E$ на $AB$. 1. Сумма углов четырехугольника $AFME$ равна $360^\circ$. 2. Углы $\angle AEM = 90^\circ$ и $\angle AFM = 90^\circ$ (так как $CE$ и $BF$ — высоты). 3. Угол $\angle FME = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle A$. 4. Углы $\angle BMC$ и $\angle FME$ — вертикальные, значит $\angle BMC = \angle FME = 180^\circ - \angle A$. По условию $\angle BMC = 140^\circ$: $140^\circ = 180^\circ - \angle A \Rightarrow \angle A = 40^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle B = \angle C = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. Ответ: углы треугольника равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

Ответ ассистента

Другие решения