4. Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, BC · BA = BD^2. Докажите, что ∠BAD = ∠BDC. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, если известно, что DC : AD = 3 : 2?

Дано: в четырехугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ — биссектриса угла $B$, выполняется равенство $BC \cdot BA = BD^2$. ### 1. Доказательство $\angle BAD = \angle BDC$ Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$: 1. $\angle ABD = \angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса). 2. Из условия $BC \cdot BA = BD^2$ следует отношение $\frac{BA}{BD} = \frac{BD}{BC}$. Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ подобны по двум сторонам и углу между ними (по второму признаку подобия треугольников). Из подобия следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle BDC$, что и требовалось доказать. ### 2. Нахождение отношения площадей Так как $\triangle ABD \sim \triangle CBD$, то отношение их сходственных сторон равно коэффициенту подобия $k$: $k = \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{BC} = \frac{BA}{BD}$. Из условия $DC : AD = 3 : 2$, значит $AD : DC = 2 : 3$. Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{AD}{CD} = \frac{2}{3}$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$. Диагональ $BD$ делит четырехугольник на два треугольника. Искомое отношение площадей этих треугольников равно $4:9$. **Ответ: 4:9**