Можно ли натуральные числа ( a ) от 1 до 101; ( b ) от 1 до 100 выписать по кругу так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вы- читается меньшее) была не меньше 50?.

Разберем каждый случай отдельно: (b) **Для чисел от 1 до 100**: Это невозможно. Рассмотрим число 51. Чтобы разность между 51 и соседним числом $x$ была не меньше 50, должно выполняться условие $|51 - x| \ge 50$. Это означает, что $x \le 1$ (так как $x \ge 101$ невозможно). Единственное число, удовлетворяющее этому условию, — это 1. Значит, число 51 должно иметь в качестве обоих соседей число 1, что невозможно в круге из различных чисел. (a) **Для чисел от 1 до 101**: Это возможно. Теперь для числа 51 условие $|51 - x| \ge 50$ выполняется, если $x \le 1$ или $x \ge 101$. То есть соседями 51 могут быть числа 1 и 101. Благодаря наличию числа 101, которое выступает в роли «мостика», расстановку можно построить. Например, можно чередовать числа, используя 101 для связи. **Ответ: (a) Да; (b) Нет.**