Вычислить неопределенные интегралы: a) ∫(sin x + 2⁴√x³ + 5ln x - 3) dx b) ∫ 8^x(2 + 5 · 2⁻³ˣ) dx

Привет! Давай разберем эти неопределенные интегралы. Мы будем использовать линейность интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличные формулы. а) $\int (\sin x + 2\sqrt[4]{x^3} + 5\ln x - 3) dx$ 1. Представим корень как степень: $\sqrt[4]{x^3} = x^{3/4}$. 2. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: - $\int \sin x dx = -\cos x$ - $\int 2x^{3/4} dx = 2 \cdot \frac{x^{3/4 + 1}}{3/4 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} = 2 \cdot \frac{4}{7} x^{7/4} = \frac{8}{7} x^{7/4} = \frac{8}{7} \sqrt[4]{x^7} = \frac{8}{7} x \sqrt[4]{x^3}$ - $\int 5\ln x dx$. Здесь используем формулу $\int \ln x dx = x \ln x - x$. Получаем $5(x \ln x - x)$. - $\int -3 dx = -3x$ Собираем всё вместе (не забываем константу $C$): **Ответ: $-\cos x + \frac{8}{7}x^{7/4} + 5x\ln x - 5x - 3x + C = -\cos x + \frac{8}{7}x^{7/4} + 5x\ln x - 8x + C$** б) $\int 8^x (2 + 5 \cdot 2^{-3x}) dx$ 1. Раскроем скобки. Вспомним, что $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$. 2. Перемножаем: - $2^{3x} \cdot 2 = 2 \cdot 2^{3x}$ - $2^{3x} \cdot 5 \cdot 2^{-3x} = 5 \cdot 2^{3x-3x} = 5 \cdot 2^0 = 5 \cdot 1 = 5$ 3. Получаем интеграл: $\int (2 \cdot 2^{3x} + 5) dx = 2 \int 2^{3x} dx + \int 5 dx$ 4. Интеграл от показательной функции $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a}$. - $\int 2^{3x} dx = \frac{2^{3x}}{3 \ln 2}$ - $2 \cdot \frac{2^{3x}}{3 \ln 2} + 5x + C$ **Ответ: $\frac{2 \cdot 2^{3x}}{3 \ln 2} + 5x + C$ или $\frac{2^{3x+1}}{3 \ln 2} + 5x + C$**