1. Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.

### Решение заданий **1. Треугольник ABC вписан в окружность.** Дано: $\angle AOB = 115^\circ$ — центральный угол. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно хорды AB. Угол $\angle ACB$ — вписанный, опирающийся на дугу AB, не содержащую точку C (так как O и C по одну сторону от AB). Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен $360^\circ - 115^\circ = 245^\circ$. Но вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Однако, если C лежит в той же полуплоскости, что и O, это значит, что $\angle ACB$ опирается на дугу, которая не содержит O. Вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен половине центрального угла, если точка C лежит на большей дуге. Здесь угол $\angle AOB$ — центральный для дуги AB (меньшей). Угол $\angle ACB$ опирается на большую дугу AB. Вписанный угол $\angle ACB$ равен $180^\circ - \frac{1}{2} \angle AOB = 180^\circ - 57,5^\circ = 122,5^\circ$. **Ответ: 122,5°** **2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность.** Дано: $\angle ABC = 56^\circ$, $\angle CAD = 42^\circ$. Найти $\angle ABD$. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на одну дугу AD. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу CD. Здесь $\angle ABD$ опирается на ту же дугу, что и $\angle ACD$. Так как $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 56^\circ$, а $\angle CAD = \angle CBD = 42^\circ$ (опираются на дугу CD), то $\angle ABD = 56^\circ - 42^\circ = 14^\circ$. **Ответ: 14°** **3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность.** Дано: $\angle ABD = 38^\circ$, $\angle CAD = 54^\circ$. Найти $\angle ABC$. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу CD, значит $\angle CBD = 54^\circ$. Угол $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 38^\circ + 54^\circ = 92^\circ$. **Ответ: 92°** **4. Отрезки AC и BD — диаметры.** Дано: $\angle AOD = 74^\circ$. Найти $\angle ACB$. Треугольник $\Delta AOD$ равнобедренный ($OA=OD=R$). Угол $\angle OAD = (180^\circ - 74^\circ) / 2 = 53^\circ$. Угол $\angle ACB$ опирается на дугу AB. Угол $\angle ADB$ опирается на ту же дугу AB (или $\angle ACB = \angle ADB$ как вписанные). В $\Delta AOD$ угол $\angle AOD$ центральный, $\angle ADO = 53^\circ$. Угол $\angle ACB$ равен углу $\angle ADB$, который является частью $\Delta AOD$, но так как $BD$ — диаметр, то $\angle ACB$ равен $180^\circ/2$ минус что-то... Проще: $\angle ACB$ опирается на дугу AB. $\angle AOD = 74^\circ$ — дуга AD равна $74^\circ$. Так как AC — диаметр, то дуга ADC = $180^\circ$. Дуга CD = $180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$. Вписанный угол $\angle CAD$ опирается на дугу CD, $\angle CAD = 106^\circ / 2 = 53^\circ$. Угол $\angle ACB = \angle ADB$ (опираются на одну дугу). Поскольку AC и BD — диаметры, то ABCD — прямоугольник. $\angle ACB = \angle CAD = 53^\circ$ (накрест лежащие при параллельных BC и AD). **Ответ: 53°**