В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите BD...

Question

Вопрос:

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите BD...

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Так как $AC$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAC = \angle CAD$. Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным. Значит, боковая сторона $AB = BC = 4\sqrt{2}$. 2. Опустим высоту $BH$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $\angle H = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $A = 45^\circ$, значит, треугольник $ABH$ — равнобедренный прямоугольный ($BH = AH$). 3. Найдем $BH$: $BH = AB \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$. Тогда $AH = 4$. 4. Так как $HBCD$ — прямоугольник, $HD = BC = 4\sqrt{2}$. 5. В прямоугольном треугольнике $BHD$ по теореме Пифагора найдем $BD$: $BD^2 = BH^2 + HD^2$ $BD^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2 = 16 + 32 = 48$ $BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. **Ответ: 4\sqrt{3}**

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите BD...

Ответ ассистента

Другие решения