(1 балл) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10 см, а угол, лежащий напротив равен 30.

Вот решения для задач из вашего листа: **16. Решение:** Пусть катет $a = 10$ см, а противолежащий ему угол $\alpha = 30^\circ$. Второй катет $b$ найдем через тангенс: $\tan 30^\circ = \frac{a}{b} \Rightarrow b = \frac{10}{\tan 30^\circ} = \frac{10}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \approx 86,6$ см$^2$. **Ответ:** $50\sqrt{3}$ см$^2$. **17. Решение:** Вращение прямоугольника со сторонами 4 и 6 вокруг прямой, проходящей через середины больших сторон (длиной 6), превращает его в цилиндр. Высота этого цилиндра равна меньшей стороне (4), а радиус — половине большей стороны ($6/2 = 3$). $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi$ см$^3$. **Ответ:** $36\pi$ см$^3$. **18. Решение:** Так как точка $A$ лежит в основании конуса, а точка $B$ на оси $SO$, то отрезок $AB$ — это прямая внутри конуса. Чтобы найти точку $C$, нужно продолжить луч $AB$ до пересечения с образующей конуса (боковой поверхностью). **19. Решение:** $\begin{cases} x - y = 8 \\ 2x - 3y = 16 \end{cases}$ Из первого уравнения: $x = y + 8$. Подставим во второе: $2(y + 8) - 3y = 16 \Rightarrow 2y + 16 - 3y = 16 \Rightarrow -y = 0 \Rightarrow y = 0$. Тогда $x = 0 + 8 = 8$. **Ответ:** $(8; 0)$. **20. Решение:** $2\sin^2 x + 7\sin x + 2 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $2t^2 + 7t + 2 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 4(2)(2) = 49 - 16 = 33$. $t = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4}$. $t_1 = \frac{-7 + \sqrt{33}}{4} \approx -0,31$. Это значение подходит, так как $|t| < 1$. $x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{33}-7}{4}) + \pi k$. $t_2 = \frac{-7 - \sqrt{33}}{4} \approx -3,18$. Не подходит, так как $|t| > 1$. **Ответ:** $x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{33}-7}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. **21. Решение:** Пусть сторона квадрата основания призмы равна $a$. Объем цилиндра $V = \pi R^2 h = \pi (a/2)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{4} = V$. Отсюда $a^2 h = \frac{4V}{\pi}$. Объем призмы $V_{пр} = a^2 h$. Подставляем значение: $V_{пр} = \frac{4V}{\pi}$. **Ответ:** $\frac{4V}{\pi}$. **22. Решение:** $y = 2 - \frac{x}{2} - x^2$, точка $x_0 = 2$. 1) $y(2) = 2 - \frac{2}{2} - 2^2 = 2 - 1 - 4 = -3$. 2) $y' = -0,5 - 2x$. $y'(2) = -0,5 - 4 = -4,5$. 3) Уравнение касательной: $y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) = -3 - 4,5(x - 2) = -3 - 4,5x + 9 = -4,5x + 6$. **Ответ:** $y = -4,5x + 6$.