На рисунке 43 ∠AOD = 90°, ∠OAD = 20°, ∠OCB = 70°. Докажите, что AD = CB.

### Решение задачи 1 **Дано:** - $\angle AOD = 90^\circ$ - $\angle OAD = 20^\circ$ - $\angle OCB = 70^\circ$ - Точки $A, O, B$ лежат на одной прямой, $C, O, D$ лежат на одной прямой. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle AOD$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем $\angle ADO = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. 2. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, но в данном чертеже они образуют пересечение прямых $AB$ и $CD$ в точке $O$. Однако, из рисунка видно, что $CD \perp AB$, так как $\angle AOD = 90^\circ$. Следовательно, $\angle COB = 90^\circ$ (как вертикальный к $\angle AOD$ или смежный с ним). 3. Рассмотрим $\triangle COB$. $\angle COB = 90^\circ$, $\angle OCB = 70^\circ$. Тогда $\angle OBC = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. 4. В прямоугольных треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ катеты $OD$ и $OC$ лежат на одной прямой, а $AO$ и $OB$ — на другой. Для доказательства равенства $AD = CB$ нужно равенство треугольников. Но данных для этого недостаточно, так как неизвестны длины отрезков $AO, OB, OC, OD$. Если в условии подразумевалось, что $AO=BO$ или $CO=DO$, то треугольники равны по катету и острому углу. При текущих данных можно сказать, что $\triangle AOD \sim \triangle BOC$ (по двум углам), но для $AD=CB$ нужны дополнительные данные. ### Решение задачи 2 **Дано:** - $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$ - $CC_1$ — высота, $CC_1 = 5$ см - $BC = 10$ см - Найти $\angle CAB$ **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle CC_1B$ (где $\angle CC_1B = 90^\circ$). 2. В нем известны катет $CC_1 = 5$ см и гипотенуза $BC = 10$ см. 3. $\sin(\angle CBC_1) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = 0.5$. 4. Следовательно, $\angle CBC_1 = 30^\circ$. Так как $\angle CBC_1$ совпадает с $\angle B$ в треугольнике $ABC$, то $\angle B = 30^\circ$. 5. В прямоугольном $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. 6. $\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $\angle CAB = 60^\circ$.