16. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 31°, ∠2 = 106°. Ответ дайте в градусах.

### Задача 16 Дано: $m \parallel n$, $\angle 1 = 31^\circ$, $\angle 2 = 106^\circ$. Решение: 1. Обозначим угол, смежный с $\angle 2$ (лежащий внутри треугольника, образованного секущей, $n$ и другой прямой), как $\angle 4$. Так как $\angle 2$ и $\angle 4$ смежные, $\angle 4 = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. 2. Угол, накрест лежащий с $\angle 1$ при параллельных прямых $m$ и $n$, равен $31^\circ$. Этот угол вместе с $\angle 4$ и искомым углом $\angle 3$ (вертикальным к углу треугольника) образует треугольник. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол треугольника, смежный с $\angle 3$, равен $180^\circ - \angle 3$. 4. Однако проще увидеть, что $\angle 3$ — это внешний угол треугольника, образованного прямыми. $\angle 3 = 180^\circ - 31^\circ - 74^\circ = 75^\circ$. **Ответ: 75** ### Задача 17 Пусть $a$ — длина, $b$ — ширина. Площадь $S = a \cdot b$. 1. Длину увеличили в $\frac{7}{4}$ раз, то есть новая длина $a_1 = \frac{7}{4}a = 1,75a$. 2. Ширину уменьшили на 20%, то есть новая ширина $b_1 = b - 0,2b = 0,8b$. 3. Новая площадь $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 1,75a \cdot 0,8b = 1,4ab$. Значит, площадь увеличилась в 1,4 раза. **Ответ: 1,4** ### Задача 18 Дано: $\angle ALC = 138^\circ$, $\angle ABC = 131^\circ$, $AL$ — биссектриса. Решение: 1. В треугольнике $ALC$: $\angle LAC + \angle LCA + \angle ALC = 180^\circ$. Значит, $\angle LAC + \angle LCA = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. 2. Обозначим $\angle BAL = \angle LAC = x$ (так как $AL$ — биссектриса). Тогда $\angle A = 2x$. 3. В треугольнике $ABC$: $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$. Подставим известные значения: $2x + 131^\circ + \angle ACB = 180^\circ$, откуда $\angle ACB = 49^\circ - 2x$. 4. Мы знаем, что в треугольнике $ALC$ $\angle LAC + \angle LCA = 42^\circ$. Подставим $x + \angle ACB = 42^\circ$. 5. Подставим выражение для $\angle ACB$: $x + (49^\circ - 2x) = 42^\circ$. 6. $-x = 42^\circ - 49^\circ \implies x = 7^\circ$. 7. Тогда $\angle ACB = 42^\circ - x = 42^\circ - 7^\circ = 35^\circ$. **Ответ: 35**