Контрольная работа №1 по дисциплине «Математика и информатика» (2 семестр)

Привет! Давай разберем твою контрольную работу. Вот решения по заданиям: **Задание 1** Определение: $a < b$, если существует собственное подмножество $B' \subset B$, такое что $|A| = |B'|$. Так как $|A| = 9$ и $|B| = 12$, то существует подмножество $B'$ размера 9, следовательно, $a < b$ выполняется. **Задание 2** - Сумма: $|A \cup B| = |A| + |B|$, где $A \cap B = \emptyset$. При $5+2=7$ мы объединяем два непересекающихся множества размером 5 и 2. - Произведение: $|A \times B| = |A| \cdot |B|$. При $5 \cdot 2 = 10$ мы строим декартово произведение, где каждому элементу первого множества ставится в пару каждый элемент второго. - Деление: $12 : 3 = 4$ означает, что множество из 12 элементов разбито на 3 равных непересекающихся подмножества по 4 элемента в каждом. **Задание 3** Используем признак делимости на 9: число сравнимо со своей суммой цифр по модулю 9. а) Сумма цифр: $(2+2+2+1+1+1) + (2+5+3+0+8) + (2+8+0+5+4) = 9 + 18 + 19 = 46$. $46 \equiv 1 \pmod 9$. Остаток: **1**. б) Сумма цифр: $(2+2+2+1+1+1) + (2+7+0+5+4) + (2+5+8+3+0) = 9 + 18 + 18 = 45$. $45 \equiv 0 \pmod 9$. Остаток: **0**. в) $(1+1+1) \cdot (4+2) = 3 \cdot 6 = 18 \equiv 0 \pmod 9$. Остаток: **0**. **Задание 5** а) $555_6 = 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0 = 180 + 30 + 5 = 215_{10}$. б) $126_7 = 1 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^1 + 6 = 49 + 14 + 6 = 69_{10}$. в) $110_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 6_{10}$. Перевод в $3$-ичную: $6 = 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 20_3$. г) $911_{16} = 2321_{10}$. В $8$-ричную: $2321 : 8 = 290$ (ост 1), $290 : 8 = 36$ (ост 2), $36 : 8 = 4$ (ост 4), $4 : 8 = 0$ (ост 4). Результат: $4421_8$. В $12$-ричную: $2321 : 12 = 193$ (ост 5), $193 : 12 = 16$ (ост 1), $16 : 12 = 1$ (ост 4), $1 : 12 = 0$ (ост 1). Результат: $1415_{12}$. **Задание 6** 1) $7564_8 - 3672_8 = 3672_8$. 2) $12112_3 + 1211_3 = 21100_3$. 3) $11011_2 \cdot 1010_2 = 11101110_2$. 4) $378E3A_{16} : A5_{16} = 58E6_{16}$. **Задание 7** Используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$: 1) Выбор сержанта: $C_5^1 = 5$ способов. 2) Выбор солдат: $C_{50}^3 = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 19600$ способов. 3) Итого: $5 \cdot 19600 = 98000$ способов. **Ответ: 98000 способов.**