806. На перегоне в 600 км после прохождения 1/4 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда, а $t$ ч — время, за которое поезд должен был пройти весь путь по расписанию. Разделим путь 600 км на две части: 1) $\frac{1}{4}$ пути = $600 \cdot \frac{1}{4} = 150$ км. 2) Остальной путь = $600 - 150 = 450$ км. Запишем систему уравнений: 1) Первоначальное время прохождения пути: $t = \frac{600}{v}$ 2) Фактическое время движения: $\frac{150}{v} + 1,5 + \frac{450}{v+15} = t$ Подставим первое уравнение во второе: $\frac{150}{v} + 1,5 + \frac{450}{v+15} = \frac{600}{v}$ Перенесем слагаемые с $v$ в одну сторону: $1,5 = \frac{600}{v} - \frac{150}{v} - \frac{450}{v+15}$ $1,5 = \frac{450}{v} - \frac{450}{v+15}$ Разделим обе части на 1,5: $1 = \frac{300}{v} - \frac{300}{v+15}$ Приведем к общему знаменателю: $v(v+15) = 300(v+15) - 300v$ $v^2 + 15v = 300v + 4500 - 300v$ $v^2 + 15v - 4500 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225 = 135^2$ $v_1 = \frac{-15+135}{2} = 60$ км/ч (скорость положительна) $v_2 = -75$ (не подходит) Теперь найдем время в пути $t$: $t = \frac{600}{60} = 10$ часов. **Ответ: 10 часов.**