8. Решение уравнения cosx = a. Частные решения уравнения cosx = a, при a=0,1,-1. Значения cosx 0, 30, 45, 60, 90.

Давай разберем уравнения. Будем использовать формулы корней для тригонометрических уравнений. ### Задание 8 а) $\cos 5x = 1$ $5x = 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{2\pi n}{5}, \, n \in \mathbb{Z}$ б) $2 \cos 2x = \sqrt{2}$ $\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ ### Задание 9 а) $2 \cos 3x = -1$ $\cos 3x = -\frac{1}{2}$ $3x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \, n \in \mathbb{Z}$ б) $2 \cos(x + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ 1) $x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ 2) $x = -\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ ### Задание 10 а) $\operatorname{tg} 4x = 1$ $4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \, n \in \mathbb{Z}$ б) $\sqrt{3} \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6}) = 1$ $\operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ ### Задание 11 а) $2 \sin^2 x + \sin x - 3 = 0$ Пусть $\sin x = t, \, |t| \le 1$ $2t^2 + t - 3 = 0$ $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$ $t_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$; $t_2 = \frac{-1-5}{4} = -1.5$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ б) $2 \sin^2 x - 3 \cos x = 3$ $2(1 - \cos^2 x) - 3 \cos x - 3 = 0$ $2 - 2\cos^2 x - 3 \cos x - 3 = 0$ $-2\cos^2 x - 3\cos x - 1 = 0$ $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$ Пусть $\cos x = t, \, |t| \le 1$ $2t^2 + 3t + 1 = 0$ $t_1 = -1$; $t_2 = -0.5$ 1) $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ ### Задание 12 $\sin x \cos x - \cos x = 0$ $\cos x (\sin x - 1) = 0$ 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ Заметим, что вторая серия входит в первую, поэтому ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$. ### Задание 13 а) $\sin x - \cos x = 0$ Разделим на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$): $\operatorname{tg} x - 1 = 0$ $\operatorname{tg} x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ б) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$ Разделим на $\cos x$: $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$ $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$