Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м^2, а площадь основания равна 5 м^2. Найдите высоту цилиндра.

### Решение задачи 525 Дано: $S_{сеч} = 10 \text{ м}^2$ $S_{осн} = 5 \text{ м}^2$ 1. Площадь основания цилиндра $S_{осн} = \pi r^2$. Отсюда $r^2 = \frac{5}{\pi}$, тогда радиус $r = \sqrt{\frac{5}{\pi}}$. 2. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$ (высота). Его площадь $S_{сеч} = 2r \cdot h = 10$. 3. Выразим высоту $h$: $h = \frac{10}{2r} = \frac{5}{r} = \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{\pi}{5}} = \sqrt{5\pi} \approx 3,96 \text{ м}$. **Ответ:** $\sqrt{5\pi} \text{ м}$. ### Решение задачи 526 Дано: отношение площади основания к площади осевого сечения $\frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$. Пусть $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра. $S_{осн} = \pi r^2$, $S_{сеч} = 2rh$. $\frac{\pi r^2}{2rh} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \implies \frac{r}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4} \implies \frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies h = \frac{2r}{\sqrt{3}}$. а) Угол $\alpha$ между диагональю осевого сечения и плоскостью основания определяется из прямоугольного треугольника, где катеты — это диаметр $2r$ и высота $h$: $\tan \alpha = \frac{h}{2r} = \frac{\frac{2r}{\sqrt{3}}}{2r} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $\alpha = 30^\circ$. б) Угол $\beta$ между диагоналями осевого сечения. Диагонали делят друг друга пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке $O_1$. Рассмотрим треугольник со сторонами $2r, h, d$ (диагональ), где $d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} = \sqrt{4r^2 + \frac{4r^2}{3}} = \sqrt{\frac{16r^2}{3}} = \frac{4r}{\sqrt{3}}$. Угол $\beta$ при вершине прямоугольника осевого сечения (через теорему косинусов или тригонометрию): $\tan(\beta/2) = \frac{r}{h/2} = \frac{2r}{h} = \frac{2r}{2r/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $\beta/2 = 60^\circ \implies \beta = 120^\circ$. (Или смежный $60^\circ$, обычно берется острый). **Ответ:** а) $30^\circ$; б) $60^\circ$ или $120^\circ$.