C-12. Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Привет! Давай разберем задачи из этого листа. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Также помни свойство: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. ### B1 1. Угол $\angle CBD$ и $\angle ABC$ — смежные, их сумма $180^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$. В треугольнике $ABC$ сумма углов $180^\circ$, тогда $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. **Ответ: $\angle A = 55^\circ$, $\angle ABC = 35^\circ$.** 2. $\angle KMT$ и $\angle KMN$ — смежные. $\angle KMN = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тогда $\angle N = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет $KM$ лежит против угла $30^\circ$, значит, $KM = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$. **Ответ: 9.** ### B2 1. $\angle EKM = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Тогда $\angle N = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. $\angle MKN = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ (это уже нашли). **Ответ: $\angle N = 50^\circ$, $\angle MKN = 40^\circ$.** 2. $\angle FMT = 150^\circ$, значит, внутренний угол $\angle FMK = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Катет $KF$ лежит против угла $30^\circ$, значит, $KF = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. **Ответ: 6.** ### B3 1. В $\triangle ADC$ (прямоугольный): $\angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $AD=10$ лежит против $30^\circ$, значит, гипотенуза $AC = 2 \cdot 10 = 20$. В $\triangle ABC$ $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В $\triangle BDC$ (прямоугольный) $CD$ — катет против $30^\circ$. $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$. Тогда $BD = CD / \operatorname{tg} 30^\circ = 10\sqrt{3} / (1/\sqrt{3}) = 30$. **Ответ: $AC = 20$, $BD = 30$.** 2. В $\triangle RKM$: $\angle M = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. $RK$ лежит против $30^\circ$, значит $RK = 0,5 RM$. По условию $RM + RK = 30$. Подставим $RK$: $RM + 0,5 RM = 30$, $1,5 RM = 30$, $RM = 20$. Тогда $RK = 10$. **Ответ: $RM = 20$, $RK = 10$.** ### B4 1. В $\triangle MKL$: $\angle MLK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $MK=8$ против $30^\circ$, значит гипотенуза $ML = 16$. В $\triangle MKL$: $KL = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$. В $\triangle KLN$: $\angle KLN = 90^\circ$ (смежный с $\angle MLK$ не совсем верно, тут $\angle MLK=30^\circ$, значит $\angle KLN = 90^\circ$ неверно, там перпендикуляр). Исправим: так как $\triangle MLK$ прямоугольный, то $\angle K=90^\circ$, $\angle M=60^\circ$, тогда $\angle MLK=30^\circ$. Тогда $\angle KLN = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ (если $MLN$ развернутый). Ответ: $ML=16, LN = 8\sqrt{3} / \cos 60^\circ = 16\sqrt{3}$. 2. $\angle MLK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В $\triangle MKL$ $\angle M = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $LK$ лежит против угла $30^\circ$, значит $LK = 0,5 LT$. Так как $LK + LT = 42$, то $0,5 LT + LT = 42$, $1,5 LT = 42$, $LT = 28$. Тогда $LK = 14$. **Ответ: $LK = 14$, $LT = 28$.**