В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sinA = √5/5. Найдите BC.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sinA = √5/5. Найдите BC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle C = 90^\circ$) синус острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. 2. Также мы знаем определение косинуса угла $A$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. 3. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$. $\cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. 4. Теперь найдем гипотенузу $AB$ через косинус: $\frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow \frac{4}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. $AB = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$. 5. Теперь найдем $BC$ через синус: $\sin A = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \sin A$. $BC = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 2 \cdot \frac{5}{5} = 2$. **Ответ: 2**

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sinA = √5/5. Найдите BC.

Ответ ассистента

Другие решения