Катер прошёл по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера ($x > 5$). Скорость катера по течению: $x + 5$ км/ч. Скорость катера против течения: $x - 5$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению: $\frac{72}{x + 5}$ часов. Время, затраченное на путь против течения: $\frac{54}{x - 5}$ часов. По условию задачи, на весь путь катер затратил 9 часов. Составим уравнение: $\frac{72}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 9$ Разделим всё уравнение на 9 для упрощения: $\frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1$ Приведем к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$: $8(x - 5) + 6(x + 5) = x^2 - 25$ $8x - 40 + 6x + 30 = x^2 - 25$ $14x - 10 = x^2 - 25$ $x^2 - 14x - 15 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант или теорему Виета: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$ $x_1 = \frac{14 + 16}{2} = 15$ $x_2 = \frac{14 - 16}{2} = -1$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Собственная скорость катера — 15 км/ч. **Ответ: 15 км/ч.**