Внешние углы треугольника ABC при вершинах A и C равны 80° и 140° соответственно. Найдите градусную меру угла ABC.

### Решение заданий **Задание 1: Внешние углы треугольника** Внутренние углы треугольника при вершинах $A$ и $C$ равны: - $\angle A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ - $\angle C = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Находим угол $ABC$: $180^\circ - (100^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. **Ответ: 40** **Задание 2: Верные утверждения** Верными являются следующие утверждения: - Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны. - Треугольник, в котором высота совпадает с его биссектрисой и медианой, является равносторонним. **Задание 3: Геометрия с треугольником** 1. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), угол $B = 120^\circ$. Углы при основании: $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. 2. $BM$ — высота и биссектриса. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABM$ (угол $M = 90^\circ$): $BM = AB \cdot \cos(60^\circ) = 0.5 AB$; $AM = AB \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$. 3. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABF$ (где $A = 90^\circ$ по условию), высота из вершины $A$ на гипотенузу $BF$ равна $AM$. По свойству высоты: $AM^2 = BM \cdot FM$. 4. Подставляем: $(\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 = (0.5 AB) \cdot 81 \implies \frac{3}{4} AB^2 = 40.5 AB$. 5. $0.75 AB = 40.5 \implies AB = 54$. **Ответ: 54** **Задание 4: Логическая задача с наклейками** Обозначим количество наклеек: $Л$ (Лена), $Ю$ (Юля), $О$ (Оля), $И$ (Ира). Из условия: 1. $Л = Ю + 10 = О + 15$ 2. $Ю = И - 5$ Выразим всё через $И$ (Ира): - $Ю = И - 5$ - $Л = (И - 5) + 10 = И + 5$ - $О = (И - 5) - 5 = И - 10$ Проверка утверждений: - "У Юли больше наклеек, чем у Оли": $И-5 > И-10$ (Верно). - "Среди девочек больше всего наклеек у Иры": Нет, у Лены ($И+5$). - "У Лены на 5 наклеек больше, чем у Иры": $И+5 - И = 5$ (Верно). - "У Оли на 5 наклеек меньше, чем у Иры": $И - (И-10) = 10$. Нет, на 10 меньше.