Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

### Задача 9 Пусть ромб $ABCD$, где $\angle A = 60^\circ$. Высота $CH$, опущенная из вершины тупого угла $C$ на сторону $AB$ (или $AD$, здесь из рисунка видно, что на $AD$), делит сторону на отрезки $AH$ и $HD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (нет, в ромбе углы при одной стороне 180). Правильнее: $\angle A = 60^\circ$, значит $\angle D = 120^\circ$. Высота из тупого угла $C$ к стороне $AD$ образует прямоугольный треугольник $CHD$ (где $H$ на продолжении $AD$ или внутри). Если высота опускается на $AD$, в прямоугольном $\triangle CHD$ (где $\angle H=90^\circ$): $\angle CDH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тогда $\angle DCH = 30^\circ$. Катет $DH$, лежащий против $30^\circ$, равен половине гипотенузы $CD$. Сторона ромба $CD = 34$, значит $DH = 34 / 2 = 17$. Отрезок $AH$ (или другая часть стороны) равен $34 - 17 = 17$. **Ответ: 1717** ### Задача 10 Формула высоты равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона. По условию $h = 10$, значит: $10 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{20}{\sqrt{3}}$. Площадь $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{20}{\sqrt{3}})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{400}{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{3}$. Нам нужно найти площадь, деленную на $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\frac{100\sqrt{3}}{3} : \frac{\sqrt{3}}{3} = 100$. **Ответ: 100** ### Задача 11 Нужно найти пути из $A$ в $M$ через $Ж$, исключая $K$. Пути из $A$: $A \to Б$, $A \to B$, $A \to Г$, $A \to Д$. Считаем количество путей до $Ж$ (пропуская $K$): $A=1$ $Б=1$ $B=1 (от А) + 1 (от Б) = 2$ $Г=1 (от А) + 1 (от B) = 2$ $Д=1 (от А) + 1 (от Г) = 2$ $3=1 (от B) + 1 (от Г) + 1 (от Д) = 3$ $E=1 (от Б) + 1 (от B) = 2$ $Ж=1 (от E) + 1 (от B) + 1 (от 3) = 3$ Дальше от $Ж$: $Ж \to И$, $Ж \to Л$. Идем к $M$, избегая $K$ (путь $И \to K$ закрыт): $И=1 (от Ж) = 1$ $Л=1 (от Ж) + 1 (от И) = 2$ $M=1 (от И - нельзя, там путь в K) + 1 (от Л) = 1 (от Л) = 2$. *Пересчет:* $И$ идет только в $K$ и $Л$. Если $K$ нельзя, то $И$ идет только в $Л$. $Л$ идет в $M$. Пути: $A...Ж \to И \to Л \to M$ (1 путь) и $A...Ж \to Л \to M$ (1 путь). Итого 2. **Ответ: 2** ### Задача 12 1) Неверно: любая сторона меньше *суммы* двух других. 2) Неверно: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, их может быть два, а при вершине — третий. Всего 3 угла, утверждение «не более двух» странное, их всегда 3, из них 2 могут быть равны. 3) Неверно: это признак равенства треугольников по двум сторонам и углу *между ними*. Здесь не сказано, что угол между сторонами. 4) Верно: в $\triangle ABC$ со сторонами 3, 4, 5 — это египетский треугольник, он прямоугольный ($\angle C$ лежит против стороны $AB=3$, $\angle B$ против $AC=5$ (прямой), $\angle A$ против $BC=4$). Сторона $AB=3$ — наименьшая, значит $\angle C$ — наименьший. **Ответ: 4**