А1. AB и BC - отрезки касательных, проведенных из точки B к окружности с центром O. OA = 16 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120°. Чему равен отрезок OB?

### А1. Решение: Пусть $A$ и $C$ — точки касания. Треугольник $OBA$ — прямоугольный (так как радиус перпендикулярен касательной). Угол $\angle AOC = 120^\circ$. Поскольку треугольник $OBС$ равен треугольнику $OBА$, отрезок $OB$ делит угол $\angle AOC$ пополам, значит $\angle AOB = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OAB$ имеем: $\cos(\angle AOB) = OA / OB$. $OB = OA / \cos(60^\circ) = 16 / 0.5 = 32$ см. **Ответ: 3) 32 см.** ### А3. Решение: Отрезки касательных $AB$ и $BC$ из одной точки равны. В прямоугольном треугольнике $OAB$ (где $\angle OAB = 90^\circ$) имеем гипотенузу $OB = 10$ и катет $AO = r = 5$. $\sin(\angle ABO) = AO / OB = 5 / 10 = 0.5$, следовательно, $\angle ABO = 30^\circ$. Угол $\angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как треугольники $OAB$ и $OCB$ равны, $\angle AOC = 2 \cdot \angle AOB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. **Ответ: 1) 120^\circ.** ### А4. Решение: Прямая $AB$ — касательная, $AO$ — радиус, поэтому $\angle OAB = 90^\circ$. Треугольник $OAB$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $OB^2 = AO^2 + AB^2$. Так как $AO = OB$, пусть $AO = x$, тогда $OB = x$. $x^2 = x^2 + 16^2 0 = 256$ В условии опечатка, так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза $OB$ должна быть больше катета $AO$, а по условию $AO = OB$. Если подразумевалось, что $OB$ — гипотенуза, а $AO=6$ (радиус), то $OB^2 = 6^2 + 16^2 = 36 + 256 = 292$, $OB = \sqrt{292}$. Вероятно, задача некорректна или $AO$ — это не радиус. Если $AO=6$ (радиус), то $OB^2 = 36 + 256 = 292$, что не подходит под ответы. Если $AO=r$, то $OB^2 = r^2 + 256$. Если $OB=AO$, задача не имеет решения. **Ответ: В условии задачи допущена ошибка.** ### В1. Решение: По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки равны: $AM = AP = 8$ см $BM = BK = 4$ см $CK = CP = 6$ см Периметр $P = AB + BC + AC = (AM + MB) + (BK + KC) + (AP + PC) = (8+4) + (4+6) + (8+6) = 12 + 10 + 14 = 36$ см. **Ответ: 36 см.**