Контрольная работа. Тригонометрические выражения и уравнения. Вариант 2.

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по тригонометрии. ### 1. Укажите значение выражения $12 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$ Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Тогда $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{4}$. Выражение можно переписать как $6 \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) = 6 \sin \frac{\pi}{4} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. ### 2. Вычислите $\sin 13^\circ \cos 73^\circ - \sin 73^\circ \cos 13^\circ$ Это формула синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha$. $\sin(13^\circ - 73^\circ) = \sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. ### 3. Упростите выражение $\frac{2\cos(3\pi - \alpha) + \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(2\pi - \alpha)}$ Применим формулы приведения: - $\cos(3\pi - \alpha) = -\cos \alpha$ (так как $3\pi$ — это угол во второй четверти, косинус отрицателен); - $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$; - $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$. Подставляем: $\frac{2(-\cos \alpha) + \cos \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-2\cos \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\cos \alpha}{\cos \alpha} = -1$. ### 4. Найдите $\text{tg } \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ $ \begin{aligned} &\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \\ &\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}. \end{aligned} $ Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть), синус здесь положителен, значит $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$. ### 5. Решите уравнения: **а) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$** $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **б) $\sin^2 x - 2\cos x + 2 = 0$** Используем $1 - \cos^2 x$ вместо $\sin^2 x$: $1 - \cos^2 x - 2\cos x + 2 = 0 \implies -\cos^2 x - 2\cos x + 3 = 0$. Умножим на $-1$: $\cos^2 x + 2\cos x - 3 = 0$. Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. Тогда $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета корни $t = 1$ и $t = -3$ (не подходит, т.к. $<-1$). $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **г) $\sin x \cos x + 2\sin^2 x = \cos^2 x$** Разделим на $\cos^2 x$ (так как $\cos x = 0$ не является решением): $\text{tg } x + 2\text{tg}^2 x = 1 \implies 2\text{tg}^2 x + \text{tg } x - 1 = 0$. Пусть $y = \text{tg } x$. Тогда $2y^2 + y - 1 = 0$. $D = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$. $y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = 0.5$, $y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$. 1) $\text{tg } x = 0.5 \implies x = \text{arctg } 0.5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg } x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.