Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD = 26.

Для решения задачи опустим высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $AD$ (или на прямую $AD$, если углы тупые). Рассмотрим $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ (или аналогичные прямоугольные треугольники, образованные высотами). 1. В прямоугольном треугольнике $DCK$ угол $\angle D = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (если $BC \parallel AD$ и $\angle BCD = 150^\circ$, то внешний угол или смежный угол при основании зависит от ориентации, но обычно в задачах трапеции $\angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$). 2. Высота $CK = CD \cdot \sin(30^\circ) = 26 \cdot 0,5 = 13$. 3. Так как $BH$ и $CK$ — высоты одной и той же трапеции, $BH = CK = 13$. 4. В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ (либо сразу $\angle BAH = 45^\circ$, так как $\angle B = 45^\circ$). Значит, треугольник $ABH$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. 5. В нем катет $BH = 13$, гипотенуза $AB = \frac{BH}{\sin(45^\circ)} = \frac{13}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 13\sqrt{2}$. **Ответ:** $13\sqrt{2}$