24.7. Представив 2x в виде x + x, докажите тождество: а) sin 2x = 2 sin x cos x; б) cos 2x = cos^2 x - sin^2 x.

Привет! Давай разберем эти тригонометрические задачи. Я начну с 24.7, как в примере. ### 24.7 Используем формулы синуса и косинуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. **а)** $\sin 2x = \sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x$. Доказано. **б)** $\cos 2x = \cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Доказано. ### 24.8 Используем формулы: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$, $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, и формулы сложения. **а)** $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \sin(\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta = \cos \alpha \sin \beta$. *Примечание: В условии опечатка, должно получиться $\cos \alpha \sin \beta$.* **б)** $\cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \cos(\alpha + \beta) + (-\sin \alpha)(-\sin \beta) = \cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta$. *Примечание: В условии опечатка, должно получиться $\cos \alpha \cos \beta$.* ### 24.9 Используем формулы $\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$. **а)** Левая часть в точности равна правой из формулы выше. **б)** $\cos(\frac{\pi}{3} + x) = \cos \frac{\pi}{3} \cos x - \sin \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$. Доказано. **в)** $\sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin \frac{\pi}{3} \cos x - \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$. Доказано. **г)** $\cos(\frac{\pi}{3} - x) = \cos \frac{\pi}{3} \cos x + \sin \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$. Доказано. Если нужно разобрать остальные номера (24.10-24.12), напиши, я с радостью помогу!