Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

Для доказательства неравенств будем раскрывать скобки, упрощать выражения и приводить их к виду, из которого очевидна истинность утверждения. 1) $(a + 3)(a + 1) > a(a + 4)$ $a^2 + a + 3a + 3 > a^2 + 4a$ $a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$ $3 > 0$ — верно при любом $a$. 2) $3(b - 4) + 2b < 5b - 10$ $3b - 12 + 2b < 5b - 10$ $5b - 12 < 5b - 10$ $-12 < -10$ — верно при любом $b$. 3) $(c - 4)(c + 4) > c^2 - 20$ $c^2 - 16 > c^2 - 20$ $-16 > -20$ — верно при любом $c$. 4) $x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1)$ $x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2$ $6x < 6x + 2$ $0 < 2$ — верно при любом $x$. 5) $(y + 5)(y - 2) \geq 3y - 10$ $y^2 - 2y + 5y - 10 \geq 3y - 10$ $y^2 + 3y - 10 \geq 3y - 10$ $y^2 \geq 0$ — верно при любом $y$ (квадрат любого числа неотрицателен). 6) $8m^2 - 6m + 1 \leq (3m - 1)^2$ $8m^2 - 6m + 1 \leq 9m^2 - 6m + 1$ Перенесем всё в правую часть: $0 \leq m^2$ — верно при любом $m$. 7) $a(a - 2) \geq -1$ $a^2 - 2a + 1 \geq 0$ $(a - 1)^2 \geq 0$ — верно при любом $a$ (квадрат выражения всегда $\geq 0$). 8) $(b + 7)^2 > 14b + 40$ $b^2 + 14b + 49 > 14b + 40$ $b^2 + 9 > 0$ — верно при любом $b$ (так как $b^2 \geq 0$, то $b^2 + 9$ всегда положительно).