1. Задайте последовательность a_n = 3n - 1 тремя способами: аналитически (уже дана), рекуррентно и словесно.

Привет! Давай разберем твое домашнее задание. ### Задание 1 Последовательность $a_n = 3n - 1$ ($n \in \mathbb{N}$). 1. **Аналитический способ:** Задан формулой $a_n = 3n - 1$. 2. **Рекуррентный способ:** Чтобы найти следующий член, нужно к предыдущему прибавить разность арифметической прогрессии $d = 3$. $a_1 = 3(1) - 1 = 2$. Формула: $\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = a_n + 3 \end{cases}$ 3. **Словесный способ:** Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, начинающуюся с числа 2, где каждый следующий член на 3 больше предыдущего. ### Задание 2 Исследование $a_n = \frac{3n}{n+2}$ на монотонность и ограниченность. * **Монотонность:** Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$. $a_{n+1} - a_n = \frac{3(n+1)}{n+1+2} - \frac{3n}{n+2} = \frac{3n+3}{n+3} - \frac{3n}{n+2} = \frac{(3n+3)(n+2) - 3n(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{3n^2+6n+3n+6-3n^2-9n}{(n+3)(n+2)} = \frac{6}{(n+3)(n+2)}$. Так как при $n \in \mathbb{N}$ разность всегда $> 0$, то $a_{n+1} > a_n$. Последовательность **возрастающая**. * **Ограниченность:** Снизу ограничена первым членом $a_1 = \frac{3}{3} = 1$. Сверху ограничена пределом $\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+2} = 3$. Значит, $1 \le a_n < 3$, последовательность **ограничена**. ### Историческая часть 1. **Кто впервые использовал идею, похожую на предел:** Античные математики, в частности, Евдокс Книдский и Архимед (метод исчерпывания). 2. **В чём суть метода исчерпывания:** Площадь (или объем) криволинейной фигуры вычисляется путем вписывания и описания многоугольников с увеличивающимся числом сторон, которые все ближе приближаются к искомой величине, «исчерпывая» ее. 3. **Почему в XVIII веке математики спорили о бесконечно малых:** Потому что понятие «бесконечно малых» не имело строгого логического обоснования. Одни считали их нулями, другие — нет, что приводило к парадоксам и неуверенности в корректности математических выводов. 4. **Кто дал современное определение предела:** Огюстен Луи Коши (а также Карл Вейерштрасс), сформулировав определение через $\varepsilon - \delta$.