23.1. Объем куба равен 27 см³. Найдите площадь его поверхности.

Привет! Давай решим эти задачи про куб. Напомним формулы: объем $V = a^3$, площадь поверхности $S = 6a^2$, диагональ куба $d = a\sqrt{3}$, где $a$ — ребро куба. ### Решение задач: **23.1. Объем $V = 27$ см$^3$.** 1. Находим ребро: $a = \sqrt[3]{27} = 3$ см. 2. Площадь поверхности: $S = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ см$^2$. **Ответ: 54 см$^2$.** **23.2. Площадь поверхности $S = 24$ см$^2$.** 1. Площадь одной грани: $S_{грани} = 24 / 6 = 4$ см$^2$. 2. Ребро: $a = \sqrt{4} = 2$ см. 3. Объем: $V = a^3 = 2^3 = 8$ см$^3$. **Ответ: 8 см$^3$.** **23.3. Диагональ $d = \sqrt{12}$ см.** 1. Формула диагонали: $a\sqrt{3} = \sqrt{12}$. 2. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. 3. Тогда $a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$, значит $a = 2$ см. 4. Объем: $V = a^3 = 2^3 = 8$ см$^3$. **Ответ: 8 см$^3$.** **23.4. Объем креста из кубов (ребро 1 см).** *Допущение: Пространственный крест состоит из центрального куба и 6 кубов, примыкающих к каждой его грани.* 1. Общее количество кубов в такой фигуре: $1 + 6 = 7$ кубов. 2. Объем одного куба: $V_1 = 1^3 = 1$ см$^3$. 3. Общий объем: $7 \cdot 1 = 7$ см$^3$. **Ответ: 7 см$^3$.** **23.5. Во сколько раз увеличится объем, если ребра увеличить в 3 раза?** 1. Пусть исходное ребро $a$, объем $V_1 = a^3$. 2. Новое ребро $a' = 3a$. 3. Новый объем $V_2 = (3a)^3 = 27a^3 = 27V_1$. Объем увеличится в 27 раз. **Ответ: в 27 раз.**