26.21. a) (x + 1)/(x^3 - 3x^2 + x - 3) + 1/(x^4 - 1) = (x - 2)/(x^3 - 3x^2 - x + 3);

Для решения уравнения разложим знаменатели на множители. 1) $x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + 1(x - 3) = (x^2 + 1)(x - 3)$ 2) $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ 3) $x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - 1(x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$ Исходное уравнение: $\frac{x + 1}{(x^2 + 1)(x - 3)} + \frac{1}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 3, x \neq 1, x \neq -1, x^2+1 \neq 0$ (выполняется всегда). Приведем к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 3)$: $\frac{(x + 1)(x - 1)(x + 1) + (x - 3)}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 3)} = \frac{(x - 2)(x^2 + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 3)}$ Приравняем числители: $(x + 1)(x^2 - 1) + x - 3 = (x - 2)(x^2 + 1)$ $(x^3 - x + x^2 - 1) + x - 3 = x^3 + x - 2x^2 - 2$ $x^3 + x^2 - 4 = x^3 - 2x^2 + x - 2$ Перенесем все в одну сторону: $x^2 + 2x^2 - x - 4 + 2 = 0$ $3x^2 - x - 2 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$ $x_1 = \frac{1 + 5}{6} = 1$ $x_2 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ Так как $x = 1$ не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в 0), остается только $x = -\frac{2}{3}$. **Ответ:** $-\frac{2}{3}$.