13. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $x$ — количество мышек, пришедших в первую ночь, а $y$ — количество сыра (в головках), которое съела каждая мышка в первую ночь. 1. В первую ночь мышки съели 10 головок сыра: $x \cdot y = 10$ 2. Во вторую ночь пришла 11 мышка (значит, всего в первую ночь мышек было больше 11, так как «пришли не все»). Каждая мышка съела в два раза меньше сыра, то есть $\frac{y}{2}$ головок. Количество съеденного во вторую ночь: $11 \cdot \frac{y}{2}$. 3. Так как $x$ — это количество мышек, оно должно быть целым числом, а $x > 11$. Из уравнения $x \cdot y = 10$ выразим $y = \frac{10}{x}$. Подставим это в выражение для второй ночи: $11 \cdot \frac{10}{2x} = 11 \cdot \frac{5}{x} = \frac{55}{x}$. 4. Чтобы количество съеденного сыра во вторую ночь было целым числом (так как по смыслу задачи это количество головок), $x$ должно быть делителем числа 55. Делители 55: 1, 5, 11, 55. Так как по условию мышек было больше 11, подходит только $x = 55$. 5. Найдем, сколько съели во вторую ночь: $\frac{55}{55} = 1$ головка сыра. 6. Всего сыра было: 10 (в первую ночь) + 1 (во вторую ночь) = 11 головок. **Ответ:** 11 головок сыра.