В основании прямой призмы с высотой 12 лежит прямоугольник ABCD, стороны которого AB и AD соответственно равны 8 и 10. Найди площадь сечения призмы плоскостью (AMN), где точки M и N — середины рёбер A1B1 и A1D1 соответственно.

Для решения задачи воспользуемся геометрией сечения. ### Дано: - Прямая призма с высотой $H = AA_1 = 12$. - Основание — прямоугольник $ABCD$, где $AB = 8$, $AD = 10$. - $M$ — середина $A_1B_1$, $N$ — середина $A_1D_1$. ### Решение: 1. Определим координаты вершин треугольника $AMN$ в трехмерной системе координат, где точка $A$ — начало координат $(0; 0; 0)$. - $A = (0; 0; 0)$ - Так как $AB = 8$ (вдоль оси $y$), $AD = 10$ (вдоль оси $x$), $AA_1 = 12$ (вдоль оси $z$): - $A_1 = (0; 0; 12)$ - $B_1 = (0; 8; 12)$ - $D_1 = (10; 0; 12)$ - Точка $M$ (середина $A_1B_1$): $M = (0; 4; 12)$. - Точка $N$ (середина $A_1D_1$): $N = (5; 0; 12)$. 2. Найдем длины сторон треугольника $AMN$: - $AM = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$ - $AN = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ - $MN = \sqrt{(5-0)^2 + (0-4)^2 + (12-12)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$ 3. Найдем площадь треугольника $AMN$ через векторное произведение. Векторы: $\vec{AM} = (0; 4; 12)$, $\vec{AN} = (5; 0; 12)$. Векторное произведение $\vec{AM} \times \vec{AN}$: $\vec{i}(4 \cdot 12 - 12 \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot 12 - 12 \cdot 5) + \vec{k}(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) = 48\vec{i} + 60\vec{j} - 20\vec{k}$. 4. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: $S = \frac{1}{2} \sqrt{48^2 + 60^2 + (-20)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2304 + 3600 + 400} = \frac{1}{2} \sqrt{6304} = \frac{1}{2} \sqrt{16 \cdot 394} = 2\sqrt{394} \approx 39.7$. **Ответ: $2\sqrt{394}$**