12.64. В прямом параллелепипеде длины сторон основания 5 см, расстояние между меньшими из них 4 см и ребра 2√2 см. Найдите длины диагоналей параллелепипеда.

Дано: прямой параллелепипед, стороны основания $a = 5$ см, $b = 2$ см, расстояние между меньшими сторонами основания (высота основания) $h = 4$ см, боковое ребро $c = 2\sqrt{2}$ см. Решение: 1. У прямого параллелепипеда боковые грани — прямоугольники. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. 2. В основании лежит параллелограмм со сторонами 5 см и 2 см. Расстояние между меньшими сторонами (сторонами по 2 см) равно высоте, опущенной на них. Обозначим $h_b = 4$ см. 3. Найдем угол $\alpha$ между сторонами основания $a$ и $b$. Высота $h_b = a \cdot \sin(\alpha)$, следовательно $4 = 5 \cdot \sin(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha) = 0,8$. Тогда $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - 0,8^2} = 0,6$ (рассмотрим случай острого угла). 4. Диагонали основания $d_1$ и $d_2$ находим по теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 0,6 = 25 + 4 - 12 = 17 \implies d_1 = \sqrt{17}$ см. $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha) = 25 + 4 + 12 = 41 \implies d_2 = \sqrt{41}$ см. 5. Диагонали параллелепипеда $D_1$ и $D_2$ связаны с диагоналями основания и боковым ребром $c = 2\sqrt{2}$ теоремой Пифагора: $D_1 = \sqrt{d_1^2 + c^2} = \sqrt{17 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 + 8} = \sqrt{25} = 5$ см. $D_2 = \sqrt{d_2^2 + c^2} = \sqrt{41 + 8} = \sqrt{49} = 7$ см. Ответ: 5 см и 7 см.