На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисован треугольник ABC. Найдите сумму углов ABC и ACB.

Для решения задачи найдем тангенсы углов $ABC$ и $ACB$ с помощью векторов или прямоугольных треугольников, которые можно достроить на клетках. Пусть координаты вершин: $A = (0; 1)$ $B = (1; 3)$ $C = (2; 0)$ Найдем векторы сторон: $\vec{BA} = (A_x - B_x; A_y - B_y) = (0 - 1; 1 - 3) = (-1; -2)$ $\vec{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y) = (2 - 1; 0 - 3) = (1; -3)$ Найдем косинус угла $ABC$ ($?eta$) через скалярное произведение: $\cos \beta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-1)\cdot 1 + (-2)\cdot (-3)}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{-1 + 6}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Отсюда $\beta = 45^\circ$. Найдем векторы сторон для угла $ACB$ ($\gamma$): $\vec{CA} = (0 - 2; 1 - 0) = (-2; 1)$ $\vec{CB} = (1 - 2; 3 - 0) = (-1; 3)$ Найдем косинус угла $ACB$: $\cos \gamma = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{(-2)\cdot (-1) + 1\cdot 3}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 + 3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Отсюда $\gamma = 45^\circ$. Сумма углов: $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. **Ответ: 90**