Упростить выражение (87—89). 1) a^(3/2) / (sqrt(a) + sqrt(b)) - ab^(1/2) / (sqrt(b) - sqrt(a)) - 2a^2 / (a - b);

Давай разберем эти примеры по порядку. 1) $\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{2a^2}{a - b}$ Приведем к общему знаменателю $(a - b) = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$. Заметим, что $\sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})$. $\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{2a^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$ $\frac{a\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + a\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2a^2}{a - b} = \frac{a^2 - a\sqrt{ab} + a\sqrt{ab} + ab - 2a^2}{a - b} = \frac{ab - a^2}{a - b} = \frac{-a(a - b)}{a - b} = -a$ 2) $\frac{3xy - y^2}{x - y} - \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ Общий знаменатель $(x - y) = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$. $\frac{3xy - y^2 - y\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - y\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y} = \frac{3xy - y^2 - y\sqrt{xy} - y^2 - yx + y\sqrt{xy}}{x - y} = \frac{2xy - 2y^2}{x - y} = \frac{2y(x - y)}{x - y} = 2y$ 3) $\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}$ Заметим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Здесь $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$. Знаменатель второй дроби как раз $x^2 - xy + y^2$. Приведем к общему знаменателю $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 = a + b$. $\frac{a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}} - (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2}{a + b} = \frac{a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}})}{a + b} = \frac{-3\sqrt[3]{ab}}{a + b}$ 4) $\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}$ Первая дробь: $\frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$. Вторая дробь: $\frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$. Итого: $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{b}$