ЗАДАНИЕ 9. В узлах клетчатой сетки отмечены точки A, B, C и D (рис. 17). Можно ли провести окружность через все эти точки?

### Решение задачи 9 **Дано:** Точки $A, B, C, D$ на клетчатой сетке. **Координаты (примем за начало координат точку A):** $A(0; 0)$, $B(3; 2)$, $C(4; 1)$, $D(1; -3)$. **Решение:** Окружность проходит через три точки, если они не лежат на одной прямой. Проверим, лежат ли точки на одной окружности. Уравнение окружности: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Подставим координаты точек: 1) $A(0; 0) \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = R^2$ 2) $B(3; 2) \Rightarrow (3 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2 = R^2$ 3) $C(4; 1) \Rightarrow (4 - x_0)^2 + (1 - y_0)^2 = R^2$ 4) $D(1; -3) \Rightarrow (1 - x_0)^2 + (-3 - y_0)^2 = R^2$ Вычитая (1) из (2), (3) и (4), получим систему линейных уравнений для центра $(x_0, y_0)$: $-6x_0 - 4y_0 + 13 = 0 \Rightarrow 6x_0 + 4y_0 = 13$ $-8x_0 - 2y_0 + 17 = 0 \Rightarrow 8x_0 + 2y_0 = 17$ Решим систему: Из второго: $2y_0 = 17 - 8x_0 \Rightarrow 4y_0 = 34 - 16x_0$. Подставим в первое: $6x_0 + 34 - 16x_0 = 13 \Rightarrow -10x_0 = -21 \Rightarrow x_0 = 2{,}1$. Тогда $4y_0 = 13 - 6(2{,}1) = 13 - 12{,}6 = 0{,}4 \Rightarrow y_0 = 0{,}1$. Проверим точку $D(1; -3)$ для найденного центра $(2{,}1; 0{,}1)$: $R_A^2 = 2{,}1^2 + 0{,}1^2 = 4{,}41 + 0{,}01 = 4{,}42$. $R_D^2 = (1 - 2{,}1)^2 + (-3 - 0{,}1)^2 = (-1{,}1)^2 + (-3{,}1)^2 = 1{,}21 + 9{,}61 = 10{,}82$. Так как $4{,}42 \neq 10{,}82$, точки не лежат на одной окружности. **Ответ:** Нельзя. *** ### Решение задачи 11 **Дано:** $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB=BC$), $AC$ — основание, вписан в окружность с центром $O$, $\angle AOC = 100^\circ$. **Найти:** $\angle C$ (угол при основании). **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle AOC$. Он равнобедренный, так как $OA = OC$ (радиусы). 2. Сумма углов в $\triangle AOC$ равна $180^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$. 3. $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, значит, $\angle BAC = \angle BCA$. Нам нужно найти весь угол $\angle BCA$ (обозначим его $\angle C$). 4. Центр окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), вершина $B$ также лежит на этом серединном перпендикуляре. 5. Точка $O$ лежит внутри треугольника. Угол $\angle BCA$ складывается из $\angle BCO$ и $\angle OCA$. 6. Так как $AB=BC$, то дуги $AB$ и $BC$ равны. Центральные углы, опирающиеся на них, также равны: $\angle AOB = \angle BOC = (360^\circ - 100^\circ) / 2 = 130^\circ$. 7. В $\triangle BOC$ (равнобедренный, $OB=OC$): $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 25^\circ$. 8. Искомый угол $\angle C = \angle OCB + \angle OCA = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$. **Ответ:** $65^\circ$.