1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -25 и d = 4.

### Вариант 1 1. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$. $a_{30} = -25 + 4(30-1) = -25 + 4 \cdot 29 = -25 + 116 = 91$. 2. Найдем разность $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Сумма первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. $S_{15} = \frac{2 \cdot 2 + 3(15-1)}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 42}{2} \cdot 15 = 23 \cdot 15 = 345$. 3. Найдем разность $d$ из формулы $c_n = c_1 + d(n-1)$: $21 = 30 + d(7-1) \Rightarrow 21 = 30 + 6d \Rightarrow 6d = -9 \Rightarrow d = -1,5$. Проверим, существует ли такое натуральное $n$, что $c_n = -6$: $-6 = 30 - 1,5(n-1) \Rightarrow -36 = -1,5(n-1) \Rightarrow n-1 = 24 \Rightarrow n = 25$. Число -6 является 25-м членом прогрессии. 4. $b_n = 2n + 1$. Это арифметическая прогрессия, где $b_1 = 3$, $b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41$. $S_{20} = \frac{b_1 + b_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{3 + 41}{2} \cdot 20 = 22 \cdot 20 = 440$. 5. Числа кратны 4: 4, 8, 12, ..., 148. Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = 4$, $d = 4$, $a_n = 148$. $148 = 4 + 4(n-1) \Rightarrow 144 = 4(n-1) \Rightarrow n-1 = 36 \Rightarrow n = 37$. $S_{37} = \frac{4 + 148}{2} \cdot 37 = 76 \cdot 37 = 2812$. ### Вариант 2 1. $a_{40} = 38 + (-3)(40-1) = 38 - 3 \cdot 39 = 38 - 117 = -79$. 2. $d = 6 - 1 = 5$. $S_{20} = \frac{2 \cdot 1 + 5(20-1)}{2} \cdot 20 = (2 + 95) \cdot 10 = 97 \cdot 10 = 970$. 3. $6 = -6 + d(9-1) \Rightarrow 12 = 8d \Rightarrow d = 1,5$. Проверим $39 = -6 + 1,5(n-1) \Rightarrow 45 = 1,5(n-1) \Rightarrow n-1 = 30 \Rightarrow n = 31$. Число 39 является 31-м членом прогрессии. 4. $b_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. $b_{30} = 3 \cdot 30 - 1 = 89$. $S_{30} = \frac{2 + 89}{2} \cdot 30 = 91 \cdot 15 = 1365$. 5. Числа кратны 3: 3, 6, ..., 78. $78 = 3 + 3(n-1) \Rightarrow 75 = 3(n-1) \Rightarrow n-1 = 25 \Rightarrow n = 26$. $S_{26} = \frac{3 + 78}{2} \cdot 26 = 81 \cdot 13 = 1053$.