Задачи для подготовки к зачету по геометрии за курс 8 класса. (Часть 1). (на 3-4). 1. Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны 6 и 54. Найдите площадь трапеции. (96)

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. ### 1. Площадь трапеции Если диагонали делят трапецию на треугольники с площадями $S_1$ и $S_2$ (прилежащие к основаниям), то площадь всей трапеции вычисляется по формуле: $S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$. $S = (\sqrt{6} + \sqrt{54})^2 = (\sqrt{6} + 3\sqrt{6})^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96$. **Ответ: 96.** ### 2. Меньший катет Пусть $c_1 = 5$ и $c_2 = 20$ — проекции катетов на гипотенузу. Гипотенуза $c = c_1 + c_2 = 5 + 20 = 25$. По метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, катет $a^2 = c_1 \cdot c$. Тогда $a^2 = 5 \cdot 25 = 125$, откуда $a = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. Второй катет $b^2 = c_2 \cdot c = 20 \cdot 25 = 500$, откуда $b = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$. Меньший катет равен $5\sqrt{5}$. **Ответ: 5\sqrt{5}.** ### 3. Гипотенуза треугольника Пусть катет $a = 2\sqrt{15}$, проекция другого катета $c_b = 4$. Пусть гипотенуза $c = x$, тогда проекция катета $a$ равна $c_a = x - 4$. По теореме $a^2 = c_a \cdot c$: $(2\sqrt{15})^2 = (x - 4) \cdot x$ $60 = x^2 - 4x$ $x^2 - 4x - 60 = 0$ Корни уравнения: $x_1 = 10$, $x_2 = -6$ (не подходит). **Ответ: 10.** ### 4. Отрезок, соединяющий середины диагоналей Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности её оснований: $d = \frac{|a - b|}{2}$. $d = \frac{|12 - 8|}{2} = \frac{4}{2} = 2$. **Ответ: 2.** ### 5. Площадь четырехугольника MBCN Треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны (так как $MN \parallel BC$). Отношение сторон $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = (\frac{2}{7})^2 = \frac{4}{49}$. $S_{AMN} = \frac{4}{49} \cdot 98 = 4 \cdot 2 = 8$. Площадь четырехугольника $MBCN = S_{ABC} - S_{AMN} = 98 - 8 = 90$. **Ответ: 90.**