В треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CM. Найдите радиус вписанной в треугольник BCM, равен 8, а cos∠BAC = 0,6.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена высота $CM$ к гипотенузе $AB$. 1. Рассмотрим $\triangle ABC$: $\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB} = 0,6 = \frac{3}{5}$. Пусть $AC = 3x$, тогда $AB = 5x$. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = \sqrt{25x^2 - 9x^2} = \sqrt{16x^2} = 4x$. 2. Рассмотрим $\triangle BCM$: Он также прямоугольный ($\angle BMC = 90^\circ$). $\angle B$ — общий угол для $\triangle ABC$ и $\triangle BCM$, значит, они подобны. В $\triangle ABC$ $\sin \angle B = \frac{AC}{AB} = \frac{3x}{5x} = 0,6$, а $\cos \angle B = \frac{BC}{AB} = \frac{4x}{5x} = 0,8$. 3. Радиус $r$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ находится по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$. Для $\triangle BCM$ катетами являются $CM$ и $BM$, а гипотенузой — $BC=4x$. В $\triangle BCM$: $CM = BC \cdot \sin \angle B = 4x \cdot 0,6 = 2,4x$. $BM = BC \cdot \cos \angle B = 4x \cdot 0,8 = 3,2x$. Гипотенуза $BC = 4x$. 4. Найдем радиус $r$: $r = \frac{CM + BM - BC}{2} = \frac{2,4x + 3,2x - 4x}{2} = \frac{1,6x}{2} = 0,8x$. 5. По условию радиус вписанной в $\triangle BCM$ окружности равен 8: $0,8x = 8 \implies x = 10$. Нам нужно найти радиус вписанной в $\triangle BCM$ окружности, который мы уже обозначили как $r = 0,8x$. Согласно условию, этот радиус равен 8. Ответ: 8