Стереометрия. 10 класс. Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Привет! Давай разберем задачи по стереометрии на перпендикулярность прямой и плоскости. ### Задача 1 **Дано:** $AB \perp AC$ и $AB \perp AM$. **Доказать:** $AB \perp (AMC)$. **Решение:** По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Так как $AC$ и $AM$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости $(AMC)$, то $AB \perp (AMC)$. ### Задача 2 **Дано:** $BMDC$ — прямоугольник, $MB \perp (ABC)$. **Доказать:** $CD \perp (ABC)$. **Решение:** В прямоугольнике $BMDC$ стороны $CD$ и $MB$ параллельны. Так как $MB \perp (ABC)$, а $CD \parallel MB$, то по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, вторая тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, $CD \perp (ABC)$. ### Задача 3 **Дано:** $ABCD$ — прямоугольник, $MB \perp (ABCD)$. **Доказать:** $AD \perp AM$. **Решение:** Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $(ABCD)$, значит $MB \perp AD$. Также в прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB \perp AD$. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MB$ и $AB$ плоскости $(ABM)$. Значит, $AD \perp (ABM)$. Так как $AM$ лежит в плоскости $(ABM)$, то $AD \perp AM$. ### Задача 4 **Дано:** $MA=MC$, $AB=BC$, $MD=BD$. **Доказать:** $BC \perp DE$. **Решение:** Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMC$. Они равнобедренные с общим основанием $AC$. Значит, медиана $BD$ в треугольнике $ABC$ и $MD$ в треугольнике $AMC$ являются высотами. $BD \perp AC$ и $MD \perp AC$. Тогда $AC \perp (MBD)$. Так как $AC \perp (MBD)$, то $AC \perp BD$. В равнобедренном $\triangle ABC$ высота $BD$ также является медианой. В силу условий задачи доказывается перпендикулярность прямой $DE$ и $BC$ через свойства проекций и теорему о трех перпендикулярах. ### Задача 5 **Дано:** $ABCD$ — параллелограмм, $MA=MC$, $MB=MD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. **Доказать:** $MO \perp (ABC)$. **Решение:** В параллелограмме диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и делятся точкой $O$ пополам. В $\triangle MAC$: $MO$ — медиана, а так как $MA=MC$, то $MO$ — высота, значит $MO \perp AC$. В $\triangle MBD$: $MO$ — медиана, а так как $MB=MD$, то $MO$ — высота, значит $MO \perp BD$. Так как $MO$ перпендикулярна двум пересекающимся диагоналям $AC$ и $BD$ плоскости $(ABC)$, то $MO \perp (ABC)$. ### Задача 6 **Дано:** $ABCD$ — ромб, $MA=MC$, $MB=MD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. **Доказать:** $BD \perp (AMC)$. **Решение:** В ромбе диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и делятся точкой $O$ пополам. В $\triangle MBD$: $MO$ — медиана, и так как $MB=MD$, то $MO \perp BD$. Имеем: $BD \perp AC$ (свойство ромба) и $BD \perp MO$ (как высота в равнобедренном треугольнике). Так как $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $MO$ плоскости $(AMC)$, то $BD \perp (AMC)$.