Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания.

Пусть основание пирамиды — квадрат $ABCD$. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро $SA$, где $S$ — вершина пирамиды. Тогда $SA$ — высота пирамиды ($H$). Так как основание — квадрат, стороны $AB = AD$. Из условия следует, что $SA \perp ABCD$, значит $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Рассмотрим боковые грани: 1. Грани $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ проходят через высоту $SA$ (перпендикулярное ребро). 2. Грани $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$ не проходят через высоту. Угол наклона грани $SBC$ к плоскости основания — это угол между прямой $SB$ (перпендикуляр к $BC$) и прямой $AB$. Так как $SA \perp ABCD$ и $AB \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SB \perp BC$. Значит, угол между гранью $SBC$ и основанием равен углу $\angle SBA = 45^\circ$. В $\triangle SBA$: $\angle SBA = 45^\circ$, значит $\angle BSA = 45^\circ$, и треугольник равнобедренный: $SA = AB = H$. Наибольшее боковое ребро — это $SC$. Найдем его из прямоугольного треугольника $SAC$ (угол $A=90^\circ$): $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2}$. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $H$, то диагональ $AC = H\sqrt{2}$. $SC = \sqrt{H^2 + (H\sqrt{2})^2} = \sqrt{H^2 + 2H^2} = \sqrt{3H^2} = H\sqrt{3}$. По условию $SC = 12$ см. $H\sqrt{3} = 12 \Rightarrow H = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. **а) Высота пирамиды:** $H = 4\sqrt{3}$ см. **б) Площадь боковой поверхности:** Она состоит из площадей четырех треугольников: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SDC}$. 1. $S_{\triangle SAB} = S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot H \cdot H = \frac{H^2}{2}$. 2. $S_{\triangle SBC} = S_{\triangle SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB$. Так как $\triangle SAB$ — равнобедренный прямоугольный с катетом $H$, то гипотенуза $SB = \sqrt{H^2+H^2} = H\sqrt{2}$. $S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot H \cdot H\sqrt{2} = \frac{H^2\sqrt{2}}{2}$. $S_{бок} = 2 \cdot \frac{H^2}{2} + 2 \cdot \frac{H^2\sqrt{2}}{2} = H^2 + H^2\sqrt{2} = H^2(1 + \sqrt{2})$. Подставим $H = 4\sqrt{3}$, тогда $H^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. $S_{бок} = 48(1 + \sqrt{2})$ см$^2$. **Ответ:** а) $4\sqrt{3}$ см; б) $48(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.