5. { x^4+y^4=82 x+y=3

Для решения системы уравнений: $\begin{cases} x^4 + y^4 = 82 \\ x + y = 3 \end{cases}$ Пусть $x + y = 3$, тогда $y = 3 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x^4 + (3 - x)^4 = 82$ Раскроем скобки $(3 - x)^4$, используя формулу бинома Ньютона: $(3 - x)^4 = 3^4 - 4 \cdot 3^3 \cdot x + 6 \cdot 3^2 \cdot x^2 - 4 \cdot 3 \cdot x^3 + x^4 = 81 - 108x + 54x^2 - 12x^3 + x^4$ Тогда уравнение принимает вид: $x^4 + 81 - 108x + 54x^2 - 12x^3 + x^4 = 82$ $2x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x - 1 = 0$ Однако, проще воспользоваться заменой. Пусть $s = x + y = 3$ и $p = xy$. Тогда: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p = 9 - 2p$ $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = (9 - 2p)^2 - 2p^2 = 82$ $81 - 36p + 4p^2 - 2p^2 = 82$ $2p^2 - 36p - 1 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $p$: $D = (-36)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1296 + 8 = 1304$ $p = \frac{36 \pm \sqrt{1304}}{4} = 9 \pm \frac{2\sqrt{326}}{4} = 9 \pm \frac{\sqrt{326}}{2}$ Так как $\sqrt{326} \approx 18.05$, корни $p_1 = 9 + 9.025 = 18.025$ и $p_2 = 9 - 9.025 = -0.025$. Вспомним, что $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$, то есть $t^2 - 3t + p = 0$. Для каждого $p$ находим $x, y$ через дискриминант $D_t = 9 - 4p$: 1. Если $p = 9 + \frac{\sqrt{326}}{2}$, то $D_t = 9 - 4(9 + \frac{\sqrt{326}}{2}) = 9 - 36 - 2\sqrt{326} = -27 - 2\sqrt{326} < 0$ (вещественных корней нет). 2. Если $p = 9 - \frac{\sqrt{326}}{2}$, то $D_t = 9 - 4(9 - \frac{\sqrt{326}}{2}) = 9 - 36 + 2\sqrt{326} = 2\sqrt{326} - 27 \approx 9.1$. Корни: $x, y = \frac{3 \pm \sqrt{2\sqrt{326} - 27}}{2}$ Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{2\sqrt{326} - 27}}{2}, y_1 = \frac{3 - \sqrt{2\sqrt{326} - 27}}{2}$ $x_2 = \frac{3 - \sqrt{2\sqrt{326} - 27}}{2}, y_2 = \frac{3 + \sqrt{2\sqrt{326} - 27}}{2}$