1148. Докажите, что графиком уравнения xy - 2x + 3y - 6 = 0 является пара пересекающихся прямых.

### 1148 Доказать, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых. **Решение:** Разложим левую часть на множители методом группировки: $x(y - 2) + 3(y - 2) = 0$ $(x + 3)(y - 2) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ График уравнения представляет собой две пересекающиеся прямые $x = -3$ и $y = 2$, пересекающиеся в точке $(-3, 2)$. ### 1149 Доказать, что графиком уравнения $(y - 2)(y + 3) = 0$ является пара параллельных прямых. **Решение:** Уравнение $(y - 2)(y + 3) = 0$ распадается на два: $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ $y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3$ Это уравнения горизонтальных прямых, параллельных оси $Ox$. Так как $2 \neq -3$, эти прямые параллельны. ### 1150 Постройте график уравнения: а) $xy + 3x = 0 \Rightarrow x(y + 3) = 0$. Прямые $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = -3$. б) $(x - y)(y - 5) = 0$. Прямые $x = y$ и $y = 5$. в) $(xy - 6)(y - 3) = 0$. Прямые $y = 6/x$ (гипербола) и $y = 3$. г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0$. Сумма квадратов равна нулю, если оба слагаемых равны 0: $x = y$ и $x = 1$. Точка $(1, 1)$. д) $x^2 - 4 = 0$. $(x - 2)(x + 2) = 0$. Прямые $x = 2$ и $x = -2$. е) $y^2 - 9 = 0$. $(y - 3)(y + 3) = 0$. Прямые $y = 3$ и $y = -3$. ### 1151 Докажите, что если $a + b \neq 0$, $b + c \neq 0$, $c + a \neq 0$, то при $x = \frac{a - b}{a + b}$, $y = \frac{b - c}{b + c}$, $z = \frac{c - a}{c + a}$ верно равенство $(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$. **Решение:** Вычислим множители: $1 + x = 1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b + a - b}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$ $1 - x = 1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$ Аналогично: $1 + y = \frac{2b}{b + c}, 1 - y = \frac{2c}{b + c}$ $1 + z = \frac{2c}{c + a}, 1 - z = \frac{2a}{c + a}$ Левая часть: $\frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$. Правая часть: $\frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$. Равенство доказано. ### 1152 На плоскости отмечено $n$ точек, никакие три не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько всего прямых, если $n$ точек? По условию прямых 45. **Решение:** Количество прямых, проведенных через $n$ точек, где никакие три не лежат на одной прямой, равно числу сочетаний $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$. $\frac{n(n - 1)}{2} = 45 \Rightarrow n^2 - n = 90 \Rightarrow n^2 - n - 90 = 0$. Корни: $n = 10$ или $n = -9$. Так как число точек положительно, $n = 10$. **Ответ:** 10 точек. ### 1153 Докажите тождество: $\sqrt{\frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}} - 4b = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (вероятно, опечатка в условии, для тождества правая часть должна быть иной, либо выражение внутри корня). *Комментарий:* Задание содержит вероятно опечатку в условии, так как алгебраическое выражение под корнем не сворачивается в полный квадрат, а при проверке левая часть не равна правой.