Определи градусную меру угла RPF , если ∠LTF = 26°, ∠TFR = 42°.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством внешнего угла треугольника. Рассмотрим треугольник $TPF$. 1. Угол $\angle RPF$ является внешним углом треугольника $TPF$ при вершине $P$. 2. Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно: $\angle RPF = \angle PTF + \angle PFT$. 3. В условии нам даны углы $\angle LTF = 26^\circ$ и $\angle TFR = 42^\circ$. Обратим внимание, что $\angle PTF$ — это тот же самый угол, что и $\angle LTF$, а $\angle PFT$ — это часть угла $\angle TFR$ (вершины треугольника лежат на окружности, $P$ — точка пересечения хорд $TF$ и $RL$). Однако, проще рассмотреть треугольник $RLT$ или использовать свойства вписанных углов. Посмотрим на треугольник $RLT$: Угол $\angle RPF$ — внешний для треугольника $RLT$, следовательно, $\angle RPF = \angle TRL + \angle TLR$. Посмотрим на треугольник $TPF$ (ошибка в предыдущем шаге: $P$ - точка пересечения $TF$ и $RL$). В треугольнике $TPF$ (или рассматривая пересечение хорд): Угол $\angle RPF$ и $\angle TPL$ — вертикальные. Рассмотрим треугольник $TPL$ (где $T, P, F$ и $R, P, L$ - хорды). Угол $\angle RPF$ является внешним углом для треугольника $\triangle TPL$ (или $\triangle RPF$ смежен с $\angle TPL$). Вернемся к простому свойству: угол между хордами, пересекающимися внутри круга, равен полусумме дуг, на которые он опирается. Это чуть сложнее. Используем свойство внешнего угла $\triangle TPL$: $\angle RPF = \angle PTL + \angle PLT$. Но у нас даны $\angle LTF = 26^\circ$ и $\angle TFR = 42^\circ$. Углы $\angle LTF$ и $\angle TFR$ — это вписанные углы, опирающиеся на дуги $LF$ и $TR$ соответственно. Угол $\angle RPF$ равен полусумме дуг $TR$ и $LF$ (свойство угла между хордами). $\angle RPF = \frac{1}{2} ( \text{дуга } TR + \text{дуга } LF )$. Вписанный угол $\angle TFR$ опирается на дугу $TR$, значит дуга $TR = 2 \cdot \angle TFR = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$. Вписанный угол $\angle LTF$ опирается на дугу $LF$, значит дуга $LF = 2 \cdot \angle LTF = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$. Тогда: $\angle RPF = \frac{84^\circ + 52^\circ}{2} = \frac{136^\circ}{2} = 68^\circ$. Ответ: 68