На рисунке 311, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a3 — сторона треугольника, P — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Для решения задачи воспользуемся формулами правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a_3$: 1. Радиус описанной окружности $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$, откуда $a_3 = R\sqrt{3}$. 2. Радиус вписанной окружности $r = \frac{R}{2}$. 3. Периметр $P = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$. 4. Площадь $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$. Рассчитаем значения для каждой строки: 1. Дано $R=3$. Тогда $r = 3/2 = 1,5$; $a_3 = 3\sqrt{3}$; $P = 3(3\sqrt{3}) = 9\sqrt{3}$; $S = \frac{3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6,75\sqrt{3}$. 2. Дано $r=2$. Так как $r = R/2$, то $R = 2r = 4$. Тогда $a_3 = 4\sqrt{3}$; $P = 3(4\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}$; $S = \frac{3 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$. 3. Дано $a_3=5$. Тогда $R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$; $r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$; $P = 3 \cdot 5 = 15$; $S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = 6,25\sqrt{3}$. 4. Дано $P=6$. Так как $P = 3a_3$, то $a_3 = 2$. Тогда $R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$; $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$; $S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. 5. Дано $S=10$. Так как $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = 10$, то $a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$, значит $a_3 = \sqrt{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$. Тогда $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{40}{3\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{40\sqrt{3}}{9}} = \frac{2\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$; $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$; $P = 3a_3 = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{30\sqrt{3}}$. Итоговая таблица: | N | R | r | a3 | P | S | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 3 | 1,5 | $3\sqrt{3}$ | $9\sqrt{3}$ | $6,75\sqrt{3}$ | | 2 | 4 | 2 | $4\sqrt{3}$ | $12\sqrt{3}$ | $12\sqrt{3}$ | | 3 | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{5\sqrt{3}}{6}$ | 5 | 15 | $6,25\sqrt{3}$ | | 4 | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 2 | 6 | $\sqrt{3}$ | | 5 | $\frac{2\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$ | $\frac{\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$ | $2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$ | $2\sqrt{30\sqrt{3}}$ | 10 |