Решите уравнение cos^2x = cosx. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [12; 15].

Привет! Давай разберем эти тригонометрические уравнения по порядку. ### 1. Решение №19 а) $\cos^2 x - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x(\cos x - 1) = 0$ $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n, k \in \mathbb{Z}$ б) Отрезок $[12; 15]$. При $\pi \approx 3,14$: При $n=2, x=4\pi \approx 12,56$ (входит) При $k=4, x=4,5\pi \approx 14,13$ (входит) **Ответ: $4\pi; 4,5\pi$** ### 2. Решение №110 а) $1 - \cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos^2 x - \cos x - 2 = 0$ Пусть $t = \cos x, t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t=-1, t=2$ (не подходит). $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$ б) Промежуток $(9; 12)$. При $k=1, x = 3\pi \approx 9,42$ (входит) **Ответ: $3\pi$** ### 3. Решение №115 а) $2 - \cos x = 2(1 - \cos^2 x) \Rightarrow 2\cos^2 x - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x(2\cos x - 1) = 0$ $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ б) Промежуток $(8; 13)$. При $k=3, x = 3,5\pi \approx 10,99$ (входит) При $n=2, x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 11,52$ (входит) **Ответ: $3,5\pi; \frac{11\pi}{3}$** ### 4. Решение №116 а) $\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x + \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow (\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 0$ $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$ б) Промежуток $[-13; -10]$. При $n=-4, x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \approx -11,52$ (входит) При $n=-3, x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3} \approx -10,47$ (входит) **Ответ: $-\frac{11\pi}{3}; -\frac{10\pi}{3}$** ### 5. Решение №90 а) $\cos 2x = \cos x \Rightarrow 2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ Корни квадратного уравнения: $\cos x = 1$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$ $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$ $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ б) Промежуток $[-2\pi; -\pi]$. При $k=-1, x = -2\pi$ (входит) При $n=-1, x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$ (не входит), $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4,19$ (входит) **Ответ: $-2\pi; -\frac{4\pi}{3}$**