а) Решите уравнение 1 - cos 2x + sqrt(2) sin x = sqrt(2) - 2 sin(x + pi). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi; -3pi/2].

### а) Решение уравнения 1. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$: $1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} - 2(-\sin x)$ $2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} + 2\sin x$ 2. Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем: $2\sin^2 x - 2\sin x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2} = 0$ $2\sin x(\sin x - 1) + \sqrt{2}(\sin x - 1) = 0$ $(\sin x - 1)(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$ 3. Решим полученные уравнения: - $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ - $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ Проверим корни, подставляя значения коэффициентов: 1. Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: - При $n = -1: x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (входит в отрезок). 2. Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: - При $k = -1: x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} = -2,25\pi$ (входит в отрезок, так как $-3\pi \le -2,25\pi \le -1,5\pi$). 3. Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$: - При $m = -1: x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} = -2,75\pi$ (входит в отрезок, так как $-3\pi \le -2,75\pi \le -1,5\pi$). **Ответ:** а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \{n, k, m\} \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{11\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}; -\frac{3\pi}{2}$