Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, где $SO$ — её высота ($O$ — центр квадрата основания $ABCD$). Боковое ребро $SA = 4$ см. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания равен $45^\circ$ (это угол $\angle SAO$). а) В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($\angle SOA = 90^\circ$): $SO = SA \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. $AO = SA \cdot \cos 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Высота пирамиды равна $2\sqrt{2}$ см. б) Основание $ABCD$ — квадрат, диагональ $AC = 2 \cdot AO = 4\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см. Для нахождения площади боковой поверхности нужна апофема $SK$ (где $K$ — середина $AD$). В $\triangle SOK$ ($\angle SOK = 90^\circ$): $OK$ — это половина стороны основания, т.е. $OK = \frac{a}{2} = 2$ см. $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAD} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK) = 2 \cdot AD \cdot SK = 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$. Ответ: а) $2\sqrt{2}$ см; б) $16\sqrt{3}$ см$^2$.