Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

### Решение задачи 5 Пусть дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$, и точка $A$. 1. **Если точка $A$ совпадает с центром $O$:** Серединой любой хорды, проходящей через центр, является сам центр $O$. Геометрическое место точек (ГМТ) — точка $O$. 2. **Если точка $A$ лежит на окружности:** Середина хорды $AB$ всегда лежит на отрезке $OA$. При приближении хорды к касательной, середина стремится к $A$. ГМТ — окружность, построенная на диаметре $OA$ (исключая саму точку $A$, так как для касательной хорда вырождается). 3. **Если точка $A$ лежит вне окружности:** Пусть $M$ — середина хорды, проходящей через $A$. Тогда $OM \perp AM$ (свойство радиуса, перпендикулярного хорде). Угол $\angle OMA = 90^\circ$. ГМТ — дуга окружности с диаметром $OA$, лежащая внутри исходной окружности. 4. **Если точка $A$ лежит внутри окружности:** Аналогично предыдущему пункту, $\angle OMA = 90^\circ$. ГМТ — окружность с диаметром $OA$. **Ответ:** - Если $A=O$, то точка $O$. - Если $A$ вне окружности, то дуга окружности с диаметром $OA$, лежащая внутри исходной. - Если $A$ внутри или на окружности, то вся окружность с диаметром $OA$ (с оговорками в зависимости от включения точек). ### Решение задачи 6 Пусть дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Нужно найти точки $X$, из которых можно провести касательную к окружности длиной $L$ (где $L$ — заданный отрезок). 1. Пусть $T$ — точка касания. Тогда $\triangle OTX$ — прямоугольный ($\angle T = 90^\circ$). 2. По теореме Пифагора: $OX^2 = OT^2 + TX^2 = R^2 + L^2$. 3. Значит, $OX = \sqrt{R^2 + L^2}$. 4. Все точки $X$, удаленные от фиксированной точки $O$ на расстояние $\sqrt{R^2 + L^2}$, лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $\sqrt{R^2 + L^2}$. **Ответ:** Окружность с центром в центре данной окружности и радиусом $\sqrt{R^2 + L^2}$.