б) Решите уравнение tg(π(2x + 1)/6) = 1/√3. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

### B3 б) $\operatorname{tg}\frac{\pi(2x+1)}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{\pi(2x+1)}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $2x+1 = 1 + 6k$ $2x = 6k$ $x = 3k$ Наибольший отрицательный корень при $k = -1$: $x = 3(-1) = -3$. **Ответ: -3** ### B4 б) $\sin(-2x)\cos2x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ $-\sin2x\cos2x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{2}\sin4x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ $\sin4x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $4x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$ ### B5 б) $2\cos^23x = 2\sin^23x - \sqrt{3}$ $2(\cos^23x - \sin^23x) = -\sqrt{3}$ $2\cos6x = -\sqrt{3}$ $\cos6x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $6x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm\frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}$ ### B6 б) $4\sin^2x - 11\sin x + 7 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $4t^2 - 11t + 7 = 0$ $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 121 - 112 = 9 = 3^2$ $t_1 = \frac{11+3}{8} = \frac{14}{8} = 1.75$ (не подходит, $|t|>1$) $t_2 = \frac{11-3}{8} = 1$ $\sin x = 1$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### B7 б) $3\cos^2x + 7\sin x - 7 = 0$ $3(1 - \sin^2x) + 7\sin x - 7 = 0$ $3 - 3\sin^2x + 7\sin x - 7 = 0$ $-3\sin^2x + 7\sin x - 4 = 0$ $3\sin^2x - 7\sin x + 4 = 0$ Пусть $\sin x = t$. $3t^2 - 7t + 4 = 0$ $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$ $t_1 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ (не подходит) $t_2 = \frac{7-1}{6} = 1$ $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### B8 б) $\cos2x = 13\sin x + 7$ $1 - 2\sin^2x = 13\sin x + 7$ $2\sin^2x + 13\sin x + 6 = 0$ Пусть $\sin x = t$. $2t^2 + 13t + 6 = 0$ $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$ $t_1 = \frac{-13+11}{4} = -0.5$ $t_2 = \frac{-13-11}{4} = -6$ (не подходит) $\sin x = -0.5 \Rightarrow x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ### B9 б) $\sin2x = -\sin x$ $2\sin x \cos x + \sin x = 0$ $\sin x(2\cos x + 1) = 0$ 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ### B10 б) $\frac{5\sin x - 2}{\sqrt{\operatorname{tg} x}} = 0$ ОДЗ: $\operatorname{tg} x > 0$ (т.е. $x$ в I или III четвертях). $5\sin x - 2 = 0 \Rightarrow \sin x = 0.4$ Если $\sin x = 0.4$, то $\cos x = \pm\sqrt{1 - 0.16} = \pm\sqrt{0.84} = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}$. Тогда $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0.4}{\pm\sqrt{0.84}} = \pm\frac{2}{\sqrt{21}}$. По условию $\operatorname{tg} x > 0$, значит $\operatorname{tg} x = \frac{2}{\sqrt{21}} > 0$. Это соответствует I четверти. $x = (-1)^k \arcsin 0.4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ (условие $\operatorname{tg} x > 0$ ограничивает $k$ так, чтобы $x$ был в I четверти: $2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$).