Представьте в виде произведения выражение cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x.

Для того чтобы представить выражение $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x$ в виде произведения, сгруппируем слагаемые так, чтобы использовать формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$. 1. Группируем слагаемые: $(\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x)$ 2. Применяем формулу суммы косинусов к каждой группе: Для первой группы: $\cos 4x + \cos x = 2 \cos \frac{4x + x}{2} \cos \frac{4x - x}{2} = 2 \cos \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2}$ Для второй группы: $\cos 3x + \cos 2x = 2 \cos \frac{3x + 2x}{2} \cos \frac{3x - 2x}{2} = 2 \cos \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}$ 3. Подставляем обратно в выражение: $2 \cos \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} + 2 \cos \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}$ 4. Выносим общий множитель $2 \cos \frac{5x}{2}$ за скобки: $2 \cos \frac{5x}{2} \left( \cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)$ 5. Снова применяем формулу суммы косинусов в скобках: $\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}}{2} \cos \frac{\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}}{2} = 2 \cos \frac{2x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \cos x \cos \frac{x}{2}$ 6. Итоговый результат: $2 \cos \frac{5x}{2} \cdot 2 \cos x \cos \frac{x}{2} = 4 \cos \frac{5x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}$ **Ответ:** $4 \cos \frac{5x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}$