1. Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 22, а её боковые стороны равны 41. Найдите площадь трапеции (см. рис. 149).

1. **Площадь трапеции** Пусть $a=40$, $b=22$, боковые стороны $c=41$. Проведем высоту $h$ к большему основанию. Отрезок на большем основании $x = \frac{a - b}{2} = \frac{40 - 22}{2} = 9$. По теореме Пифагора находим высоту: $h^2 = 41^2 - 9^2 = (41-9)(41+9) = 32 \cdot 50 = 1600 \Rightarrow h = 40$. Площадь $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{40+22}{2} \cdot 40 = 31 \cdot 40 = 1240$. **Ответ: 1240**. 2. **Скалярное произведение** По сетке определяем координаты векторов: $\vec{a} = (5; 4)$ $\vec{b} = (2; -3)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) = 10 - 12 = -2$. **Ответ: -2**. 3. **Объем куба** Объем шара $V_ш = \frac{4}{3}\pi r^3 = 12\pi$. Отсюда $r^3 = 9$, $r = \sqrt[3]{9}$. Диаметр шара $d = 2r = 2\sqrt[3]{9}$ равен ребру куба $a$. $V_{куба} = a^3 = (2\sqrt[3]{9})^3 = 8 \cdot 9 = 72$. **Ответ: 72**. 4. **Вероятность победы** Это схема Бернулли с $n=3$, $k=2$, $p=0,5$. $P = C_3^2 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^1 = 3 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,375$. **Ответ: 0,375**. 5. **Вероятность суммы очков** Игра заканчивается, когда сумма $> 8$. За 2 броска она закончится, если сумма $d_1 + d_2 > 8$. Всего исходов $6 \cdot 6 = 36$. Благоприятные исходы (сумма 9, 10, 11, 12): (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6) — всего 10 комбинаций. $P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \approx 0,2777... \approx 0,278$. **Ответ: 0,278**.