7. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Объём шара равен 84. Найдите объём конуса.

### Решение задачи 7 1. Дано: объём сферы $V_{сферы} = 84$. Центр сферы совпадает с центром основания конуса, вершина конуса лежит на сфере. 2. Пусть $R$ — радиус сферы. Тогда высота конуса $H$ равна радиусу сферы $R$, так как вершина конуса на сфере, а центр основания — в центре сферы. Радиус основания конуса $r$ также равен $R$ (так как окружность основания лежит на сфере, а центр сферы — в центре этого основания). 3. Формула объёма сферы: $V_{сферы} = \frac{4}{3}\pi R^3 = 84$. 4. Формула объёма конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$. Так как $r = R$ и $H = R$, получаем $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$. 5. Выразим $V_{конуса}$ через $V_{сферы}$: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{1}{4} \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{1}{4} \cdot V_{сферы} = \frac{1}{4} \cdot 84 = 21$. **Ответ: 21** ### Решение задачи 8 1. Дано: в конусе уровень жидкости $h = \frac{1}{4}H$, где $H$ — полная высота конуса. Объём жидкости $V_{жид} = 20$ мл. 2. Конус, заполненный жидкостью, подобен исходному конусу. Коэффициент подобия $k = \frac{h}{H} = \frac{1}{4}$. 3. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $\frac{V_{жид}}{V_{конуса}} = k^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$. 4. Полный объём конуса $V_{конуса} = 64 \cdot V_{жид} = 64 \cdot 20 = 1280$ мл. 5. Объём, который нужно долить: $V_{долить} = V_{конуса} - V_{жид} = 1280 - 20 = 1260$ мл. **Ответ: 1260**