Докажите тождество: a) cos^4 γ - sin^4 γ = 1 - 2 sin^2 γ, б) (1 - 2 sin^2 α) / (sin α cos α) = ctg α - tg α, в) tg α / sin α - sin α / ctg α = cos α, г) (tg^2 γ + 1) / (tg^2 γ - 1) = 1 / (sin^2 γ - cos^2 γ)

Привет! Давай докажем эти тригонометрические тождества. Будем использовать основные формулы. а) $\cos^4 \gamma - \sin^4 \gamma = 1 - 2 \sin^2 \gamma$ Разложим левую часть как разность квадратов: $\cos^4 \gamma - \sin^4 \gamma = (\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma)(\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma)$ Так как $\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = 1$ (основное тождество), то: $= \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma$ Заменим $\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma$: $= 1 - \sin^2 \gamma - \sin^2 \gamma = 1 - 2 \sin^2 \gamma$ Тождество доказано. б) $\frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \ctg \alpha - \tg \alpha$ Преобразуем правую часть: $\ctg \alpha - \tg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$ Так как $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$, то $1 - 2 \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Получаем: $\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$ Тождество доказано. в) $\frac{\tg \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\ctg \alpha} = \cos \alpha$ Разложим $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$ Тождество доказано. г) $\frac{\tg^2 \gamma + 1}{\tg^2 \gamma - 1} = \frac{1}{\sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma}$ Распишем левую часть через синус и косинус: $\frac{\frac{\sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma} + 1}{\frac{\sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma} - 1} = \frac{\frac{\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma}{\cos^2 \gamma}}{\frac{\sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma}{\cos^2 \gamma}} = \frac{1}{\sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma}$ Тождество доказано.